A számsorok derivációja? - Derivation of number order?

Ha nem ismerjük az összefüggést, csupán egy számsort látunk, és szeretnénk megtalálni az összefüggést, akkor ezt nagyon egyszerű módon megtehetjük.
Először vizsgáljuk meg a középpont szerinti szimmetriát: 8+29, 11+26, 14+23, 17+20, …
Minden esetben a számok összege azonos, ami azt jelenti, hogy lineáris összefüggésről van szó.
Most vizsgáljuk meg a szomszédos számok közti eltéréseket: 11-8, 14-11, 17-14, 20-17, 23-20, 29-26.
Minden esetben az eredmény 3, hiszen a f(x)=3x+5 függvény derivációja f’(x)=3.
Ha a sorozatból levonjuk a 3x értékeket, megkapjuk az 5 értékű konstanst is.

Itt a középpont szerinti szimmetriát alkalmazva a számok összege már nem konstans, tehát nem lineáris összefüggésről van szó.
Vegyük tehát a szomszédos számok közti eltéréseket:

A középpont szerinti szimmetria: 9+41, 13+37, 17+33, … értéke mindenhol azonos, tehát már lineáris összefüggésről van szó.
A számok közti eltérés mindenhol azonos: 13-9, 17-13, … = 4, hiszen derivációja 4x. Miután levonjuk a számsorból ezt a kvadratikus sorozatot, megkapjuk a lineáris sorozatot, amit már az előzőek alapján meg lehet oldani.
Mivel a második szinten értük el a lineáris függvényt, ezért a számsort egy kvadratikus függvénnyel lehet leírni:

Exponenciális összefüggés

A megkapott számsorból újra kiszámoljuk a szomszédos számok közti különbséget, de ahogy láthatjuk a számsor sohasem végződik, illetve nem jutunk lineáris összefüggéshez.

Azt is mondhatjuk, hogyha N+1 szám közti összefügést akarjuk megtalálni, akkor nem alkalmazhatunk egy N-ed rendű polinomot, mert azzal nem redukálnánk a bonyolultságot (tehát valójában semmilyen összefüggést nem állapítanánk meg).
Fel kell tételeznünk, hogy exponenciális függvénnyel van dolgunk, hiszen egy exponenciális függvény derivációja szintén exponenciális függvény lesz.

A kapott sorozatokban vizsgáljuk meg a szomszédos számok osztásának eredményeit:

Ebből jól láthatjuk, hogy ez a sorozat gyorsan közelít a 3 értékhez, ami a függvényben a tagnak felel meg.
A 3 itt még nem pontos, mivel még néhány derivációt el kell végezni ahhoz, hogy a polinomiális rész ne legyen hatással az eredményre, ahogy azt a lenti táblázat is mutatja.

Mindez azt jelenti, hogy végső soron "lineáris összefüggésre vezettük vissza" a sorozatot.

Megjegyzés:
Ha például függvény számsorát használnánk, akkor szintén először megkapnánk a 3-értéket, ez szerint a metódus szerint. Miután levontuk a függvényből a tagot, utána megkapnának tagot, ez szerint a metódus szerint . Viszont, ebben az esetben már 10-nél jóval több mérési értékre lenne szükségünk ahhoz, hogy ez a numerikus metódus megfelelő pontossággal tudjon működni.